11 Geometry 2 Curves and Surface 曲线和表面

  • Explicit Representations
  • Curves
    • Bezier Curves
    • De Casteljau’s Algorithm
    • B-splines, etc.
  • Surfaces
    • Bezier surfaces
    • Triangles & quads
      • Subdivision, simplification, regulation

Explicit Representations

  1. Point Cloud (Explicit)
    • Easiest representation: list of points(x,y,z)
    • 只要点足够密，表示任何面
    • 经常被转化成多边形面
  2. Polygon Mesh (Explicit)
    • Store vertices & polygons(一般是三角形/四边形)
    • 更复杂的数据结构，更普遍的表达形式
  3. The Wavefront Object File (.obj) Format

Curves

  1. Bezier Curves 贝塞尔曲线
    • Defining Cubic Bezier Curves by Tangent.
  2. Evaluate bezier curves: De Casteljau’s Algorithm
    1. 原理很简单，不细说了
    2. 伯恩斯坦多项式，t做自变量的二项分布做系数权重，对控制点坐标求和
    3. 性质很好，有仿射变换（线性变换加平移）不变性，但是不具有投影变换不变性
    4. 凸包(Convex Hull)性质：曲线一定在点的凸包里面
    5. Piecewise Bezier Curves：逐段贝塞尔曲线，一般使用四个控制点
      • c0连续：零阶导数相同。相邻两个贝塞尔曲线边界控制点重合
      • c1连续：一阶导数相同。相邻两个贝塞尔曲线中间控制点共线
      • c2连续：二阶导数相同。相邻两个贝塞尔曲线边界控制点平分中间控制点
  3. Spline样条
    • B-Spline
  4. bezier surface 贝塞尔曲面
    • 一个方向上好几条贝塞尔曲线（参数u）
    • 贝塞尔曲线作为另一个方向上的控制点（参数v）
    • 参数uv映射，得到曲面上所有点
  5. Mesh Operation（网格）
    • Mesh subdivision 网格细分
    • Mesh simplification 网格简化（逆过程）
    • Mesh Regularization 网格标准化，把三角形变得大小形状差不多的